FICHE MODULE SI5 / M2 IFI

TITRE : Introduction aux problèmes inverses en imagerie médicale et astronomie

Le titre est en anglais ainsi que l'ensemble de la fiche si le cours est en anglais. L'enseignant a le choix de faire son cours en français ou en anglais. Ce choix doit être fait maintenant (et non pas après la première séance)

DUREE  : 8 semaines (évaluation comprise)

RESPONSABLE  : Eric Debreuve
QUALITE/CV : CR CNRS

Un seul responsable par cours

AUTRES INTERVENANTS ACADEMIQUES (Nom / Etablissement) :

• Sandrine Anthoine, CR CNRS
  

AUTRES INTERVENANTS EN ENTREPRISE (Nom / Entreprise) :

RESUME : On parle de problème inverse lorsqu'on cherche à retrouver une information "cachée", ou inaccessible, à l'origine d'observations expérimentales. Par exemple, on considère une série de radiographies prises en tournant autour d'un patient. Sur chaque radiographie, l'information de profondeur est absente. En réalité, elle est cachée par superposition des coupes aux différentes profondeurs. Toutefois, la connaissance des phénomènes ayant produit les radiographies ainsi que la prise en compte simultanée de celles-ci permet de retrouver une image tridimensionelle du patient. C'est le principe général du scanner.

La résolution d'un problème inverse nécessite donc au préalable une modélisation des phénomènes physiques, autrement dit des transformations et perturbations, ayant produit les observations à partir de la source du problème inverse. Cette modélisation est appelée problème direct. La résolution consiste alors à remonter à l'information source d'après le modèle et des observations. La solution peut parfois être exprimer directement comme une fonction des observations. Sinon, elle peut être approchée par des approximations successives obtenues par un algorithme itératif.

Nous nous appuierons à la fois sur des problèmes mathématiques classiques (par exemple, inversion de système ou interpolation de points par une courbe lisse) et sur des problèmes de traitement d'images (restauration notamment) pour étudier les difficultés liées à la résolution d'un problème inverse telles que la complexité du problème direct et les pertubations aléatoires inévitables dans tout système physique. Ces éléments nous mèneront à la notion de problème inverse mal posé, c'est-à-dire insoluble à partir des seules observations. Des contraintes, ou conditions, imposées à la solution sont autant d'informations supplémentaires qui permettent, si elles sont adéquates, de résoudre un tel problème inverse. L'ajout de ces connaissances est appelées régularisation.

Les principales méthodes de résolution seront appréhendées en s'intéressant à des problèmes concrets en modélisation du vivant et sciences de l'Univers. Nous traiterons par exemple l'algorithme Expectation-Maximization (EM) en imagerie médicale, la méthode des résidus pondérés et son approximation par morceaux dite des éléments finis en électrocardiographie et magnétocardiographie ou encore une méthode de classification d'objets célestes à partir de données multifréquences en astrophysique.

OBJECTIFS : Ce module propose d'acquérir les réflexes nécessaires à la modélisation et la résolution de problèmes inverses ainsi qu'une vision globale des approches mathématiques possibles. Trois grandes classes de problèmes seront abordées : l'identification de modèle, l'inversion et la séparation de sources.

CONTENU (1 ligne par séance si possible au format [Titre ] [Nature (C / TD / TP)] [Durée] [Intervenant] ) : 

1. Introduction : définitions, illustrations par des exemples, et éléments clés, C, 3h
2. Modélisation du problème direct, notion de problème inverse mal posé et régularisation, C, 3h
3. Quelques méthodes classiques d'inversion (1/2), C, 3h
4. Quelques méthodes classiques d'inversion (2/2), C, 3h
5. Application à la restauration d'images dégradées (débruitage et déconvolution), TD, 3h
6. Une approche pour résoudre un problème concret en imagerie médicale, C, 3h
7. Une approche pour résoudre un problème concret en astronomie, C, 3h

PREREQUIS :

BIBLIOGRAPHIE :

SUPPORT de COURS :

MODE D’EVALUATION :

Quelque soit la langue du cours, c'est l'étudiant qui choisi la langue dans laquelle il sera évalué. La rédaction du sujet est dans la langue du cours (un cours en français aura un sujet en français, un cours en anglais aura un sujet en anglais).

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